抛物线准线方程,抛物线准线方程公式

关注 金鼎学社 公众号,免费领取赚钱项目,添加客服微信:qiniu1001  备注:领取项目

中考几何压轴 27 几何与函数 抛物线 与 线段最值问题

这一系列,不限专题,解析系列经典几何题,提高几何分析解决问题能力

题30.《抛物线与线段最值》

如图,抛物线 y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,过点D作DQ⊥x轴于点Q,DQ与BC相交于点M,DE⊥BC于E。

(1) 求抛物线的函数解析式

(2) 求线段DE长度的最大值,及对应的D点坐标

(3) 连接AC,是否存在点D,使得△CDE中的一个角与∠CAO相等?若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由。

抛物线准线方程,抛物线准线方程公式

〖一般性提点〗

抛物线问题中的线段最值,通常是抛物线上的点到某条直线(一次函数)的最值问题,分为两类:

[1]. 直线L与抛物线有两个交点

设交点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),且x2>x1,则在x1<x<x2 范围抛物线上的点到直线L的距离最大值问题。

[2]. 直线L与抛物线没有交点

则抛物线上的点到直线L距离的最小值问题。

〖题目分析〗

(1)求抛物线的函数解析式;

已知抛物线与x轴交点,用抛物线的因式分解解析式便捷。

抛物线与x轴交点为A(-1,0), B(3,0):

y=a(x+1)(x-3)

又过C(0,3)点,代入解得a=-1

∴ 抛物线解析式为

y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3

(2)在0<x<3范围寻求抛物线上一点D,使得DE取得最大值

两种方法

<1>. 方法1. 或名平行线法

设BC所在直线L′,则其斜率

k=(3-0)/(0-3)=-1

L′在y轴截距为3,

∴ L′:y=-x+3.

当和L′平行的直线L与抛物线仅有一个交点时(与抛物线相切),这个切点就是所求的D点。

抛物线准线方程,抛物线准线方程公式

设L∥L′:y=-x+λ,代入抛物线方程整理得一元二次方程:

x2-3x-(3-λ)=0

该方程有单根,判别式△=0:

9+4(3-λ)=0,λ=21/4,单根x=-b/2a=3/2,代入L的解析式得y=15/4

∴ 所求D(3/2,15/4);

DE的最大值,则一般通过几何原理(相似、Rt等)来计算:

DM=DQ-MQ=15/4-3/2=9/4

△DEM为等腰直角三角形

DE=DM/√2=9√2/8。

本方法是先基于几何意义以代数方法求D坐标,再以几何原理求DE长度。

<2>. 方法2. 或名几何原理法

①设D点坐标:基于D在抛物线上,设D(m, -m2+2m+3),则M(m, -m+3),Q(m, 0);

②基于几何原理,建立DE关于m的代数表达式

③然后代数方法求线段DE的最大值。

抛物线准线方程,抛物线准线方程公式

易证△DEM∽△BOC:DE/BO=DM/BC

其中:BO=3,BC=3√2,DM=-m2+2m+3-( -m+3)=-m2+3m;代入:

∴ DE=(-m2+3m)/√2

(事实上,△DEM为等腰直角三角形:DE=DM/√2,更简单一些)

当m=-b/2a=-3/(-2)=3/2时,

max (DE)

=[-(3/2)2+9/2]/√2=9√2/8;

D点坐标D(3/2,15/4 )

〖总结〗

平行线法,稍显复杂,但几何意义明显;

几何原理法,本质上是代数方法求最值,几何意义不是明显;

两种方法都是几何原理与代数方法的综合。

—–

(3) 连接AC,是否存在点D,使得△CDE中的一个角与∠CAO相等?若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由。

设∠CAO=α,则tanα=3。

存在两种情形:<1>. ∠DCE=α;<2>. ∠CDE=α。过程表明两种情形都有解。

基本思路:求CD所在直线函数表达式并与抛物线方程联立求得交点D的坐标。

<1>. ∠DCE=α

抛物线准线方程,抛物线准线方程公式

作BG⊥x轴,交CD延长线于G,求G点坐标,从而建立CD所在直线方程。

∵∠CBA=∠GBC=45°,易知△BCG∽△BAC:

BG/BC=BC/AB

BG=BC2/AB=18/4=9/2;

∴G(3,9/2)。

CD所在直线斜率k=(3-0)/(9/2-3)=1/2,y轴截距3:

CD:y=(1/2)x+3;

与抛物线方程 y=-x2+2x+3联立,先求x:(1/2)x+3=-x2+2x+3,即

0=-2×2+3x,解得x=0(舍),x=3/2;代入CD解析式得y=15/4;

此种情形下D(3/2,15/4)

<2>. ∠CDE=α

抛物线准线方程,抛物线准线方程公式

作BG∥DE,交CD延长线于G,作GF⊥x轴于F,求G点坐标,从而建立CD所在直线函数表达式。

易知BG=BC/tanα=BC/3=√2;

△BGF为等腰直角三角形:GF=FB=1;

∴G(4,1);

CD所在直线斜率k=-1/2;y轴截距3,

∴CD:y=-(1/2)x+3

与抛物线方程 y=-x2+2x+3联立,先求x:-(1/2)x+3=-x2+2x+3,即

0=-2×2+5x,解得x=0(舍),x=5/2;代入CD解析式得y=7/4;

此种情形下D(5/2,7/4).

—-

【注】第三问<1>、<2>情形,也可以统一用“一线三直角”即“三垂直”模型解答。

抛物线准线方程,抛物线准线方程公式



游戏试玩赚钱,添加客服微信:709425133  备注:游戏试玩

本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 709425133@qq.com 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如若转载,请注明出处:https://www.076760.com/3470.html